Integración por sustitución trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}

{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}

{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos

a

factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)}}=

={\sqrt {a\cdot \left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}}

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

$a>0$ $a>0$ Λ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0$ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0$ es decir: ${\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+n^{2}}}$ ${\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+n^{2}}}$
$a>0$ $a>0$ Λ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}<0$ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}<0$ es decir: ${\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-n^{2}}}$ ${\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-n^{2}}}$
$a<0$ $a<0$ Λ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0$ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0$ es decir: ${\sqrt {n^{2}-m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}$ ${\sqrt {n^{2}-m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}$

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

 $u=m\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)$  $u=m\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)$

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

${\sqrt {u^{2}+n^{2}}};\quad u=n\cdot \tan t$ ${\sqrt {u^{2}+n^{2}}};\quad u=n\cdot \tan t$
${\sqrt {u^{2}-n^{2}}};\quad u=n\cdot \sec t$ ${\sqrt {u^{2}-n^{2}}};\quad u=n\cdot \sec t$
${\sqrt {n^{2}-u^{2}}};\quad u=n\cdot \sin t$ ${\sqrt {n^{2}-u^{2}}};\quad u=n\cdot \sin t$