Integración por Partes - Ejercicio 2

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

EJEMPLO:

Integrales inmediatas

Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. La fórmula anterior permite reinterpretar la lista de integrales inmediatas haciendo actuar las funciones elementales sobre funciones cualesquiera. Se obtiene así la siguiente lista:

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Integral Definida - Ejercicio 1

Integración por sustitución trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}$ y ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}$

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx}$

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos ${\displaystyle a}$ factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)}}=}$

${\displaystyle ={\sqrt {a\cdot \left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}}}$

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

1. ${\displaystyle a>0}$ Λ ${\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+n^{2}}}}$
2. ${\displaystyle a>0}$ Λ ${\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}<0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-n^{2}}}}$
3. ${\displaystyle a<0}$ Λ ${\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {n^{2}-m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}}$

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

${\displaystyle u=m\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}$

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

1. ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}+n^{2}}};\quad u=n\cdot \tan t}$
2. ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}-n^{2}}};\quad u=n\cdot \sec t}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {n^{2}-u^{2}}};\quad u=n\cdot \sin t}$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en ${\displaystyle t}$, se resuelve y se deshace el cambio.